沙塔尔问题教材危害对照材料（4篇）沙塔尔问题教材危害对照材料 “七不讲”专题民主生活会个人对照检查材料 根据XX党委的安排和部署，按照XX的要求和工作安排，我积极学习相关文件和讲话精神，边学边下面是小编为大家整理的沙塔尔问题教材危害对照材料（4篇）,供大家参考。
篇一：沙塔尔问题教材危害对照材料
“七不讲”专题民主生活会个人对照检查材料
根据XX党委的安排和部署，按照XX的要求和工作安排，我积极学习相关文件和讲话精神，边学边思，深挖思想，对标检查，剖析根源，同时结合工作实际，坚持批评与自我批评，与周围的党员同志们积极交流。通过最近的学习，我的思想认识有了新的提高，弥补了思想上的不足，明晰了认识的模糊地带，强化了自己信仰。我深刻认识到，作为一名党员，必须不断增强“四个意识”，坚决守住党纪国法的底线，不当“两面人”、不说“两面话”、不做“两面事”，坚决执行党的政治纪律，反分裂斗争纪律，发挥领导干部的率先垂范作用，敢于发声亮剑，旗帜鲜明地向“两面人”、向暴恐势力做坚决斗争。
一、旗帜鲜明地对“两面人”亮剑
我认真的阅读了自治区党委《关于沙塔尔·沙吾提、阿力木江·买买提明、阿不都热扎克·沙依木违纪违法案件调查处理情况及其教训的通报》，以同干部队伍中的“两面人”作斗争为重点的主题的要求，通过学习和反思，深刻地认识到：沙塔尔·沙吾提之流就是干部队伍中的两面人，他们无视党的政治纪律、经济纪律、工作纪律、生活纪律，党员意识淡薄，丧失理想信念，履职尽职不够，公然与人民为敌，传播双泛思想、为三股势力培
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育温床，是个十足的反革命集团，给党和人事业带来惨重损失，我们必须深刻分析其思想和行为，坚决把反分裂的意识扎根在自己思想中，不能在大是大非面前犯糊涂!
习总书记在第二次中央新疆工作座谈会上强调：“在新疆看干部，首先看维护祖国统一、反对民族分裂的思想认识和实际表现。”作为新疆的党员干部，更要严守党的政治纪律和组织纪律，始终坚持把政治坚强作为第一标准。要坚定不移地与党保持高度一致，不搞台上台下“两面派”，不当人前人后“两面人”，自觉做信念坚定的“明白人”、表里如一的“老实人”、严守纪律的“规矩人”。对那些打着民族和宗教旗号，煽动民族情绪、制造民族分裂、煽动宗教狂热等危害社会稳定的行为予以坚决揭露、批判、抵制和斗争，以实际行动对暴恐分子进行坚决回击。用自己的实际行动向“三股势力”说“不”，真诚服务各族群众，多办暖人心、得人心的事，最大限度争取民心、凝聚民心，让群众像石榴籽一样紧紧地抱在一起。
二、实事求是地查改自身问题
(一)不讲政治
不讲政治,犹如蒙眼走路,掉进陷阱、误入歧途是迟早的事。
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近年来党内很多高级干部,就长期不讲政治,以至于'毫无政治信仰',最终落得个身败名裂的下场。对照检查中，自己主要存在两个问题：第一是学习不到位，第二是行动有缺陷。
在学习上，对党的宗教政策学习不到位，认识有短板，对宗教极端势力的危害认识肤浅。民族宗教工作的知识、理论没有随着时代的发展及时更新。往往只注重身边、业务涉及的政策和理论，眼光狭窄。对于如何防止分裂分子利用国家政策，利用民族感情搞渗透搞破坏的认识不足，导致洞察力减弱，一旦遇到群众工作中的难点，便束手无策。
在行动上，在贯彻执行党的政治纲领和政治路线时,存在形式主义，有时候空喊口号，以声音落实文件、以文件落实文件;遇到复杂问题，没有区分不同群体、千差万别的工作,不问行事原因、不看实际需要,采取一刀切的标准,没有抓好落实。
(二)不讲纪律
习近平总书记指出，我们党是靠革命理想和铁的纪律组织起来的马克思主义政党，纪律严明是党的光荣传统和独特优势。这句话深刻简明地说出了讲纪律对我党的重要性。
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在思想认识上，我能认识到讲纪律的重要性，但是没有牢记于心，学以致用还不够。具体表现在对于突发情况，自己不能及时有效的对照党的纪律进行认识和处置，深切的体会到“书到用时方恨少”的困境。
在实际的工作中，对于有些同志的轻微违纪行为，碍于面子没有直接提醒或者是没有马上指出，怕得罪同志，瞻前顾后;看到上级处分干部时，对于一些做出贡献的干部抱有同情心和理解，没有将他们违纪行为的巨大危害认识清楚。
(三)不讲大局
大局意识是一个党员领导干部的必备素质，反思自己，我很惭愧，在大局观方面必须要要加强。主要有以下几个方面：
忽视基础性工作，而是急于出政绩。在个别时候，热衷于“形象工程”和脱离实际的“政绩工程”。例如在XX工作中，没有考虑XX的实际，急于求成，虽然事后XXX，但是导致了一些问题，一些本该避免的的错误没有避免，给群众和同志们带来损失。
在有些工作中定政策、抓工作不唯实，没有从本地区、本部门的实际出发，没有从上级的大局考虑，思想认识不到位，心里
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就有怨言，工作也没做好。遇到困难工作缺乏激情，怕出乱子，不求有功、但求无过。
(四)不讲团结
民族团结是我国各族人民的生命线,在自治区工作，民族团结更是我们常挂在嘴边，常体现在工作中的一句话。与其他同志相比，我在民族团结上还有需要提高的地方。
一方面，在工作之余，单位之外，和少数民族群众交流较少。由于工作的原因，往往没有合理安排时间，去积极的联系周边群众，和他们多说话，多谈心，了解他们的生活和精神状态，同时，由于了解的缺乏，也没有积极向上级反馈情况。
另一方面，没有积极主动探索促进民族团结，增进民族友谊的新思路和新方法，满足与把上级交给的任务完成。没有将民族团结的思想入脑如心，和各族群众没有实现心与心得沟通和交流，自己的工作也就没了创造性。
(五)不讲责任
党员尤其是党员干部要在其位，谋其政，敢于担当。这不仅
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是我们党的优良作风，而且是共产党人想干事、能干事、干大事、干不成事不罢休的精神品质。
在工作中，我的担当性不足，有时候缺乏无私无畏的勇气，维稳工作安好中，事情安排的过多，没有充分发挥同志们的积极性，自己一手抓，反倒越乱。
该挑重任的时候，有点畏惧，怕自己没本事，不敢硬碰硬。例如在民族团结工作中，针对信息沟通渠道不畅的问题，多次开会研究，但是提高效果不大，自己想不出办法，心生气馁。
(六)不讲忠诚
讲忠诚，就是更加紧密地团结在以习近平同志为核心的党中央周围，始终维护以习近平同志为核心的党中央权威。
我认为我存在的主要问题是:随着阅历的丰富，经验的增多，或多或少产生了盲目自满心理，认为为入党时间长，受党教育多年，党性修养靠得住、过得硬，在大是大非面前能够经受住考验,但是通过对照检查发现，自己欠缺的还是很多，必须纠正自己的这些错误思想，时刻有一种危机感和紧迫感，才能警钟长鸣。
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(七)不讲原则
讲原则，是干部为政之德的基本要求。当干部意味着拥有一定的公权力。权力如果失去纪律、原则的约束，就会像脱缰的野马、失控的洪水，祸国殃民。我的问题在于处理人情和原则上容易在原则上退步。
遇到情面问题，就当“老好人”，对歪风邪气不敢“批”，对复杂矛盾和问题不敢“碰”，对正确意见不敢“顶”，到头来，自己的工作不能正常推进，问题也没解决了;在亲情、友情、上下级之情上，有时候没有把握好尺度，不仅让大家有意见，也“玷污”的真正纯洁的感情。
三、问题产生原因
通过自己的总结和同志们对我的批评，我分析了自己产生上述问题的原因。
(一)理论学习欠缺
在实际工作中，对理论学习的重要性认识不足，尤其是对马克思主义基本原理、国家民族政策，根基不实，知识落后。没有
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真正把学习作为一种追求、一种责任。面对当前新形势新要求，把更多精力放在稳增长、促改革、保稳定这些“硬指标”上，忽视了政治理论学习这个“软指标”，学习不够系统，精神“篱笆”扎得不牢对是否该继续坚持一贯的共产党人人生观、价值观、世界观有时会感到迷茫。究其根本，主要还是理想信念不够牢固，放松了对自身建设的要求，在比较和计较中淡化了理想信念、公仆情怀、群众观念。
(二)服务意识淡薄
对工作不能始终保持热情的态度，尤其当手头工作稍多、稍忙时，存有'事不关己，高高挂起'的思想，没有深刻理解'全心全意为人民服务'的宗旨。以至于为群众服务意识的淡薄。'一切为了群众，一切依靠群众，从群众中来到群众中去'的实质表明坚持任何时候都要以群众满意不满意作为自己得失的衡量标准，而我却忽略了群众的想法，这是工作中缺乏耐心的根本原因。'一切为了群众'是要求我们真正做到全心全意为人民服务，做到树立党员一面旗的良好形象。
(三)党性修养放松
政治理论学习不够必然带来世界观改造的放松，党性修养和
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锻炼也难以跟上实际的需求。在对待自己的党性修养上，标准不高、要求不严，认为自己入党时间长，受党的教育多年，感到自己在党性方面问题不大，有自足感。没有随着形势的变化和要求，从高从严要求自己，不能正确地看待自己所处的位置，没有以一个党员领导干部的标准来严格要求自己，发挥模范作用方面还比较欠缺。同时，不能正确分析党内存在的一些不正之风和消极腐败现象，对自己的信心产生动摇，甚至怀疑自己不合潮流，跟不上时代，也不自觉地放松了自己的党性要求。
四、今后努力的方向
讲政治讲纪律讲原则。首先，牢固树立四个意识，维护党中央权威，在任何时候任何情况下都必须在思想上政治上行动上同党中央保持高度一致。党中央提倡的坚决响应，党中央决定的坚决照办，党中央禁止的坚决杜绝，必须以严的标准要求党员、严的措施管住干部，确保党规党纪刚性约束，决不能成为“稻草人”，决不允许‘上有政策、下有对策’，决不允许有令不行、有禁不止，决不允许在贯彻执行中央决策部署上打折扣、做选择、搞变通。同自治区党委、全区各级党组织、广大党员干部和各族群众一致，要坚定原则立场，在维护祖国统一、开展反分裂斗争这一重大原则问题上，始终做到旗帜鲜明、立场坚定。
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讲大局讲团结。解决思想境界低的问题，要牢固树立全局观念和“一盘棋”思想，围绕全处管理工作，立足本职、顾全大局、团结合作，自觉维护集体荣誉，增强整体活力，杜绝自由主义现象的发生，努力营造心齐气顺、团结奋进、干事创业的良好氛围和宽松环境。深刻认识反恐形势的严峻性、复杂性，从维护祖国统一、维护民族团结、维护社会稳定的高度来认识和看待问题，从自治区实际出发，牢固树立反恐意识，把反恐作为维稳工作一项重中之重的任务切实负起责任，切实掌握工作主动权，把工作做得细之又细、严之又严，全面落实维护社会稳定民族团结的各项措施。
讲责任讲忠诚。党员姓党，坚持党性、对党忠诚不是一个空洞的口号，而是一个重大政治原则，不但要体现在思想上，更要落实在行动上。要坚定理想信念，牢牢把握“永不动摇信仰”这条主线，矢志不渝地做中国特色社会主义共同理想的坚定信仰者和自觉践行者。要增强政治定力，时刻向中央基准看齐，与中央保持一致，在任何时候、任何情况下都要做到政治信仰不变、政治立场不移、政治方向不偏。要为党不懈奋斗，做到在党言党、在党为党、在党忧党。要在加强党性修养中提升担当的思想境界，要在勤奋学习中提升担当的能力素质，要在做好实际工作中提升担当的具体本领，认真对照理论理想、党章党纪、民心民声、先贤先进“四面镜子”，用“三严三实”的要求和无私无畏的勇气
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对照、检查、改进和提高自己;面对丑恶现象敢于亮剑，毫不含糊地作坚决斗争。
作为共产党员，我们必须积极地与本单位、本行业各族干部群众一道同心同结、团结奋斗、凝心聚力、扎实工作。不负党委的重托，扎实做好本职工作，共同创造新业绩。
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篇二：沙塔尔问题教材危害对照材料
守住底线筑好防线
教师是个光荣的职业,他是人类社会最古老的职业之一。我为能从事这份行业而感到光荣。
在教育的过程中,教师是起主导作用的，他是学生们身心发展过程的教育者、领导者、组织者，教师对学生产生的影响是巨大的，有时这种影响会伴随学生终身。因此，从通过面试的那一天起，我就知道从此我需要更为严格的约束我的言语和行为，因为无论是在讲台上传授知识,还是在课堂中答疑解惑，或是在宿舍里、在微信、电话中和学生交流沟通，我的一言一行都会影响我的学生，我作为他们的引导者，要向他们传播正确的知识，帮助他们建立正确的价值体系。
司马光《资治通鉴》中写道：“有才无德，小人也;有德无才，君子也；然德才皆具者,圣人也。"这就告诉我们德行的重要性,体现在教师这个职业中尤其明显。新疆现在正处于“三期叠加”的重要时刻，我提升自身的政治素养的需求就极为迫切.面对学生的各种询问,只有自己知道最正确的答案，才能自己不胆怯不心虚，有最足的底气为学生答疑解惑，引导学生走向积极的道路。
教师是知识的继承者和传播者。既然是知识的继承者,我就需要多多学习。提升自身政治素养的最佳捷径，就是认真学习学校下发的各种学习资料以及学校组织的各种教育学习。
学院组织了全体教职工集中学习，通过学习，让我深刻的认识到什么是“两面人”、“两面人”的所作所为有哪些、以及“两面人”的危害性。沙塔尔·沙吾提等人作为共产党员,丧失理想信念，不仅不积极同分裂分子做斗争，反而公然与人民为敌、与政府为敌,编写传播双泛思想的教材、为三股势力培育温床，是个十足的反革命集团，给党和人民的教育事业带来惨重损失，是危害新疆社会稳定和长治久安的幕后黑手。
之后，我们又相继学习了多个通报、多篇发声亮剑的好文章以及《新疆若干
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历史问题纪要》,通过学习,使我更加清晰地了解了新疆的历史，了解了新疆现在的局势。虽然我是土生土长的新疆人，但对于很多问题并不清楚，因此，为了提升自己，也为了更好地工作，我会认真且多次学习学校下发的相关材料，储备了正确的知识，才能轻易看穿所有骗局，才能在为学生答疑解惑的过程中,使学生心服口服.
就是通过多次学习，我才慢慢意识到我们教育的不同及其重要性.我们的学生中就有受问题教材毒害的，可能就有被自己的亲戚朋友欺骗的.既然作为知识的传播者，我就会告诉我所接触到的学生：“我们生活在广阔的新疆，不要只狭隘地去区分是汉族还是少数民族，而要时刻记牢自己是中华民族的一员;不要盲目听信他人意见，而要结合自身环境认真思考，寻找多种途径去论证其正确与否；不要只顾逃避，而要积极勇敢承担自己肩上的那份责任。"
教育系统肩负着培养中国特色社会主义事业合格建设者和可靠接班人的重大使命，在教师队伍中开展学习教育以及清查活动，对于抵御和防范渗透，打赢意识形态领域这场没有硝烟的战争，维护社会稳定，意义十分重大。
青少年的未来是新疆的未来,是中国的未来。社会稳定，青少年是最大的受益者；社会动荡，青少年将成为最大的受害者。我作为一名党培养和教导的教育工作者,肩负培养接班人的神圣使命，深感有义务和责任站好自己的岗位，坚守教育这块阵地，旗帜鲜明的反对民族分裂，维护新疆的长治久安.
我会利用工作为我提供的机会，站好讲台，在讲解知识点、召开班会、和学生谈心的过程中,把中华文化的元素,社会主义核心价值观的内容融入到我的言语和行动中，采用多种形式，传达给学生，帮助其树立正确的“五观”，不断增进学生对伟大祖国、中华民族、中华文化、中国共产党、中国特色社会主义的认同。
对于家庭经济有困难的学生，我会一直关注,积极为其提供帮助或帮其出谋划策,让他感受到学校和学院对他的关心，确保他能按时在校上课，避免其流入社会,被他人蒙蔽利用的可能。
对于思想上存在问题的学生,如经发现,我会立刻上报，绝不隐瞒，但同时我
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也不会放弃，我会利用生动的实例，从学生自己的生活出发，试着揪出问题所在，尽力帮其扭转已经扭曲的价值观。
纵观古今中外,只有稳定才能有发展,只有稳定才能有和谐，才能有经济的腾飞,才能有人民的安宁幸福、安居乐业，才能建设平等的、团结的、互助的、和谐的社会.看看战火纷飞的叙利亚,再看看今年10月1日晚发生在美国拉斯维加斯的严重枪击事件，无一不体现稳定安全的重要性.“三股势力"制造社会混乱,阻碍全疆经济建设和各项事业的发展,就是我们全疆人民的敌人。
我们要听党话、跟党走,认真落实上级安排下达的任务,坚定不移地加强民族团结，更要时刻保持高度警惕，时刻注意反分裂分子在意识形态方面的渗透.遇见事情，认真思考，积极反思，用正确的知识武装自己，采取恰当的方式引导和保护学生远离三股势力的危害，用自身的学识为学生筑起一道保护的防线.
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篇三：沙塔尔问题教材危害对照材料
根据某些实际需要根据某些实际需要根据某些实际需要对它们进行各种描述们进行各种描述们进行各种描述以及各种运算以及各种运算以及各种运算经过了一段很长的历史经过了一段很长的历史经过了一段很长的历史才逐渐形成了极限的才逐渐形成了极限的才逐渐形成了极限的概念才有了概念才有了概念才有了形式的定义于是微积分才有严密精确而又完整的外衣形式的定义于是微积分才有严密精确而又完整的外衣形式的定义于是微积分才有严密精确而又完整的外衣也才形成了清晰而又相容的逻辑演绎体系也才形成了清晰而又相容的逻辑演绎体系也才形成了清晰而又相容的逻辑演绎体系这是对长期的非形式化运算过程进行这是对长期的非形式化运算过程进行这是对长期的非形式化运算过程进行形式化改造的结果
概括---归纳,总括。把事物的共同特点归结在一起加以简明地叙述,扼要重述
用一句话概括
概念---在头脑里所形成的反映对象的本质属性的思维形式。把所感知的事物的共同本质特点抽象出来,加以概括,就成为概念,概念都具内涵和外延,并且随着主观、客观世界的发展而变化
定义----对概念的内涵或语词的意义所做的简要而准确的描述
加法----数学运算方法之一,是把两个或两个以上的数合成一个数的方法
和----数学上指加法运算中的得数:二加二的~是四。
减法---将一个数或量从另一个数或量中减去的一种数学方法,这一方法可用公式概括为m-s=r,其中差数r加上减数s,总数等于被减数m
乘---算术中的乘法运算,亦指乘法的运算方法[multiplication]。如:加减乘除
乘积----由两个或两个以上的数或量相乘所得出的数或量
乘法----一般指ab,a·b这些数学运算,其含义随有关的类型不同而异。当a和b为正整数时,这些运算的含义最简单,它们代表以a作单位重复取b次或反过来以b作单位重复取a次
类比----根据两种事物在某些特征上的相似,推论出它们在其他特征上也有可能相似。用这种推理方法推出的结论是或然性的,是否正确还有待实践证明
比较----对比几种同类事物的异同、高下
对比------[两种事物或一事物的两个方面]相对比较--新旧对比
弗赖登塔尔的数学教育思想
荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔是国际上知名的数学教育方面的权威学者。30年代就享有盛誉,从50年代起就逐渐转向数学教育的研究,形成了他自己的独特的观点。
第一节关于现代数学特性的论述
弗赖登塔尔认为现代数学的特性可以归结为以下几个方面。
1.数学表示的再创造与形式化活动。如果认真分析一下近几十年来数学的变化,就会发现其变化主要是它的外表形式,而不是它的实质内容。这是一个自然演变的过程,在数学的各个领域内,逐渐渗透与发展了各种新知识与新词汇,最终汇成一个新潮流--形式化,这是组织现代数学的重要方法之一,也是现代数学的标志之一。
微积分的发展是一个例子,当牛顿、莱布尼兹开始引入微分、积分以及无穷小的时候,这都是一些具有某种直观背景的模糊观念。根据某些实际需要,对它们进行各种描述,以及各种运算,经过了一段很长的历史,才逐渐形成了极限的概念,才有了-形式的定义,于是微积分才有严密、精确而又完整的外衣,也才形成了清晰而又相容的逻辑演绎体系,这是对长期的非形式化运算过程进行形式化改造的结果。
形式化要求以语言为工具,按逻辑的规律,有意识地精确地表达严密的数学含义,不容许混淆,也不容许矛盾。换句话说,数学需要有自己特定的语言,严密、精确、完整而且相
容。随着数学抽象程度的提高,语言表达的严密性日益增强,甚至像计算机语言似的向着符号逻辑的趋势发展。但这种数学语言的发展显然也不是绝对的,需要有个过程,这也就反映了数学有各种不同程度的形式化,在特定环境下,可以为特定的目的构造不同的形式化语言。
根据弗赖登塔尔的分析,我们认为现代社会的数学教育,当然不可能要求一下子飞跃到20世纪数学发展的最前沿,以形式化的现代数学内容,充塞于各种课程、教材之中。因为教育必然有一定的滞后性,儿童、少年的生理、心理发展规律,也必须要求以直观的具体内容作为抽象形式的背景与基础,可是最终达到的目的也应该使学生理解现代数学这一以特定的数学语言表达的形式体系。当然这里有各种不同的要求,因而也要掌握不同层次的形式化,并且运用着不同水平的数学语言。
2.数学概念的建设方法,从典型的通过外延描述的抽象化,进而转向实现公理系统的抽象化,承认隐含形式的定义,从而在现代科学方法论的道路上,迈开决定性的一步。
若是把康脱(Cantor)的集合论作为现代数学的开端,你就会看到建设概念的典范是通过"外延"来描述一个概念,即描述具有概念所反映的特性的对象全体,由此来了解并掌握这个概念。
随着现代数学的进展,人们感到通过"外延"的描述形成概念的方法,在不少情况下难以达到预定的目的。在更多的内容中,人们借助于具有这些特性的所有对象,从各种特殊情况中,描述它们的共性,阐述它们所必须满足的共有关系,解释它们所受的相关的约束、限制条件等等,从而抽象出一个更广泛、更一般的概念,这就是用公设或者是公理方法建立的概念。它的实质就是以隐含的方式描述了所要研究的对象,它并未明确指出概念的"外延",但却已经规定了它必须满足的条件,这就是以隐含的形式作为定义,使现代数学跨上了更高水平的形式体系。
3.传统的数学领域之间的界限日趋消失,一贯奉为严密性典范的几何,表面上看来似乎已经丧失了昔日的地位,但实质上却正是几何直观在各个数学领域之间起着联络的作用。正如康德(Kant)所说:没有概念的直观是无用的,没有直观的概念是盲目的。
大多数现代数学的概念和问题,都有着一定的几何背景,有关问题的解决,也常常依赖于头脑中能否出现清晰的n维空间甚至无限维空间的直观形象,或是找到适当的几何解释,几何形象常常为问题解决提供途径。
多少年来数学课程的设置常在"分久必合,合久必分"的一对"分""合"矛盾之间徘徊,算术、代数、几何、三角、微积分、...这一系列的学科,反映了数学发展史中各个不同阶段、不同侧面的情况,它们都有各自的特点与规律。结合学生的认知发展规律及教育教学规律来设计课程,不同时期侧重不同方面是完全应该的。但总的目标,即使分也不能一分到底,完全分家,总还应该将数学视为一个整体;当学生运用数学这个工具解决问题时,必须善于综合地应用代数、几何、三角、...等各种方法,应该使之互相渗透,互相结合,从中找出最佳的组合,而不是互相割裂,生搬硬套。
4.相对于传统数学中对算法数学的强调,应该认为现代数学更重视概念数学,或者说是思辨数学。
现代数学中开始现代化进程的主要标志--集合论、抽象代数和分析、拓扑等都是概念,思辨的喷发,它冲破了传统数学的僵化外壳,但是每个概念的革新,都包含着自身的算法萌芽,这是数学发展的道路。算法数学与思辨数学之间是一个相对的辩证关系,这并不等同于新与旧、高与低;概念数学果然体现了机械操作运算的突破,提高了理论的深度;而算法数
学则意味着巩固,因为它提供了技术方法,可以探索更进一步的概念深度。
一个典型的例子,相同数量的一杯白酒与一杯红酒,取一匙白酒倒入红酒内,使之混和,再取同量的一匙混合酒倒人白酒内,试问,白酒杯中所含的红酒多还是红酒杯中所含的白酒多?
通常的解法是:假设两酒杯容量均为a,一匙的容量为b,则第一次动作后,白酒杯中所含白酒量为a-b,第二次动作后,...,不少人会在计算过程中搁浅、碰壁。在
解此题时,很少人会作这样的推理:两个杯子最终还是含有相同数量的酒,如果想象每个杯子中白酒和红酒是分开的,那么白酒杯中的红酒就是红酒杯中所缺少的部分,而它的空缺现在正好被白酒所填补,这样就可以马上得出结论:白酒杯中所含红酒的量与红酒杯中所含白酒的量应该是一样多。这里的前一种解法是算法的,而后一种解法就是思辨的。
在数学发展的历史上,算法曾经发挥了极大的威力。韦达的代数,笛卡尔的解析几何,莱布尼兹的微积分,都是这方面的出色成果,算法数学确实有其迷人之处,通过算法的操作往往可以增加人们的自信与能力。数学发展的历史,当然也反映了沉迷于算法之中,会使人们的思想受到束缚与桎梏,必须跳出这个圈子,才能在数学的视野范围上有所拓广和深入;墨守成规地机械操作,必须随之以概念的革新,思维的组织,形成新的结构与新的体系。
如何根据算法的数学与思辨的数学这一辩证关系,来组织我们的数学教育,也是人们经常感到困惑的问题之一。其实,这个问题反映的就是知识与技能的关系,是强调概念和理解,还是强调运算和操作?我们的数学教育,应该在算法数学与思辨数学两方面,都给学生以足够的训练与培养,更重要的还在于,要使学生能够灵活地综合地运用于实践之中。
第三节关于数学教学原则的设想
弗赖登塔尔认为,人类历史必然是一个前进的历史,只有突破了对传统、对权威的迷信,才能充分发挥科学的创造性;科学是一种活动,科学不是教出来的,也不是学出来的,科学是靠研究钻出来的。
因而学校的教学必须由被动地学转为主动地获得,学生应该成为教师的合作者,通过自身的实践活动来主动获取知识。这样,教育的任务,首先就应当为青年创造机会,让他们充满信心,在自身活动的过程中,继承传统,学习科学,获得知识;另一方面,由于社会在不断前进,人们就必须不断学习。因此,教育中更重要的一个问题,并不
是教的内容;而是如何掌握与操纵这些内容,换句话说,要让学生学会掌握方法,那是更根本的东西。
根据这些考虑,弗氏提出了下列几个数学教学的原则:
1."数学现实"原则
数学来源于现实,也必须扎根于现实,并且应用于现实。这是弗赖登塔尔的基本出发点,也是我们历来提倡的基本思想。
确实,数学不是符号的游戏,而是现实世界中人类经验的总结。无论是数学的概念,还是数学的运算与规则,都是由于现实世界的实际需要而形成的。数学教育如果脱离了那些丰富多采而又错综复杂的背景材料,就将成为"无源之水,无本之木"。
另一方面,弗氏也认为数学是充满了各种关系的科学,通过与不同领域的多种形式的外部联系,不断地充实和丰富着数学的内容;与此同时,由于数学内在的联系,形成了自身独特的规律,进而发展成为严谨的形式逻辑演绎体系。因此,数学教育又应该给予学生数学的整个体系--充满着各种各样内在联系与外部关系的整体结构。
弗氏的另一个基本主张是:数学应该是属于所有人的,我们必须将数学教给所有人。实际上,对于少数数学家来说,抽象的形式体系,严密的逻辑结构,以及涉及内在联系的规律,也许是最为本质、最为完美也是最感兴趣的东西。可是对于大多数人而言,掌握数学与外部世界的密切关系,从而获得适应于当前社会的生存与生活,并进而能够改革社会促使其进一
步发展,将是更为重要的。
为此,弗赖登塔尔坚持主张,数学教育体系的内容应该是与现实密切联系的数学,能够在实际中得到应用的数学,即"现实的数学"。如果过于强调数学的抽象形式,忽视了生动的具体模型,过于集中于内在的逻辑联系,割断与外部现实的密切关系,那必然会给数学教育带来极大的损害。
数学教育应该为所有的人服务,应该满足全社会各种领域的人对数学的不同水平的需要。数学教育应为不同的人提供不同的数学修养,从而使每个人能够拥有适合于他们所从事的不同专业所必需的数学知识,使其能顺利地处理有关的各种数学问题。为此,弗赖登塔尔的一个基本结论是:每个人都有自己生活、工作和思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念、运算方法、运算规律和有关的数学知识结构。这就是说,每个人都有自己的一套"数学现实"。
数学教育的任务就在于,随着学生所接触到的客观世界的广泛程度,应该确定各类学生在不同阶段必须达到的"数学现实",并且根据学生所实际拥有的"数学现实",采取相应的方法予以丰富,予以扩展,从而使学生逐步提高所具有的"数学现实"的程度并扩充其范围。通过这样的过程,数学教育将随着不断地扩展的现实发展,同时数学教育本身又促使了现实的扩展,正象数学与现实世界的辩证关系一样,数学教育也应该符合这样的规律。
2."数学化"原则
弗赖登塔尔的名言:与其说是学习数学,还不如说是学习"数学化";与其说是学习公理系统,还不如说是学习"公理化";与其说是学习形式体系,还不如说是学习"形式化"。
他认为:人们运用数学的方法观察现实世界,分析研究各种具体现象,并加以整理组织,这个过程就是数学化。简单地说,数学地组织现实世界的过程就是数学化。
数学的产生与发展本身就是一个数学化的过程,人们从手指或石块的集合形成数的概念,从测量、绘画形成图形的概念,这是数学化。数学家从具体的置换群与几何变换群抽象出群的一般概念,这也是数学化。
数学教育应该尊重数学的传统,要按照历史的本来面目,根据数学的发展规律来进行。当儿童通过模仿学会计数时,当他们把两组具体对象的集合放在一起而引
出加法规律时,这实质上是历史上现实世界数学化过程的再现,我们当然没有必要也没有可能将数学教育变成历史发展过程的机械重复,但确实必须也可以从中获得很好的借鉴。
事实证明,只有将数学与它有关的现实世界背景密切联系在一起,也就是说只有通过"数学化"的途径来进行数学教育,才能使学生真正获得充满着关系的、富有生命力的数学知识,使他们不仅理解这些知识,而且能够应用。
前已指出:每个人都有不同的数学现实世界,因此数学化有不同的层次。
首先,现实世界自始至终贯串在数学化之中,我们常把由现实世界直接形成数学概念的过程称为"概念性的数学化"。它往往随着不同的认知水平而逐渐得到提高;与此同时,对这个概念的形成过程进行反思,作更为抽象与形式的加工,再将它用来解决现实世界的问题;通过现实世界的调节作用,而使数学化得到进一步的发展与演化,而由此形成的新的方法手段又能再用于组织更高一层的现实世界,并产生新的数学概念。
其次,反思是数学化过程中的一种重要活动,它是数学活动的核心和动力。数学的不少发现来自于直觉,而分析直觉并将其数学化必须让学生学会反思,对自己的判断与活动甚至语言表达进行思考并加以证实,以便有意识地了解自身行为后面潜藏的实质,只有这样的数学教育--以反思为核心--才能使学生真正深入到数学化过程之中,也才能真正抓住数学思维的内在实质。
现代化数学往往借助数学方法来为各种错综复杂的现象构造相应的数学模型,这当然是一种数学化,作为数学教师谁都不会满足于将各种现成的数学模型,硬灌给学生,去塞满学生的脑袋;人们希望的是学生自己会运用数学知识来为具体问题建造新的数学模型,应该说,数学教育的目标就在于使学生学会"数学化"。
以下我们来具体地论述两种常见的"数学化"过程:公理化和形式化。
人们在长期的实践中,将直观朴素的各种几何命题加以组织、整理、加工,形成欧几里德公理体系,这一通常称为公理化的过程,也是一种数学化。近年来数学发展的重要特征之一,就是公理化思想广泛地渗入各个数学领域。我们的数学教育自然不能停留在让学生的头脑成为形形色色公理系的仓库,更重要的任务是必须教会学生能运用自己的数学思维,对一个数学领域进行加工、整理,从而独立地建立起一个公理体系来。也就是说,必须让学生学会公理化。
如果说公理系统是通过公理化的方法重新组织数学内容的结果,那么作为数学抽象性的特点之一的形式体系就是通过形式化的方法重新组织数学语言的表达,从而建立起来的结构。这种形式体系化,或简称形式化,又是另一种数学化。数学内容的特殊本质决定了对数学语言的特殊要求,从日常语言中逐渐独立出来,引进特定的数学术语来表达数学的活动与思想。所有这些都是数学的形式化过程的逐步提高与发展,在此过程中数学科学也进到了一个更高的阶段。在数学教育中,并不是要学生背诵那些形式体系,而应使学生学会形式化,学会用正确的数学语言来组织并表达数学的现实内容及内在联系。
近年来,关于数学化的思想正在不断地进行深入的研究,根据Treffers和Goffree的提法,数学化还可以分解为水平的和垂直的两种成分。
如果是从具体的客观现象中找出数学的特性,或者通过不同的方式将同一个问题形式化或直观化,或是在不同的问题中识别其同构的本质,以及将一个现实问题转化为数学问题或已知的数学模型等,这些方面都可以理解为同一问题在水平方向的扩展,因而是属于数学化的水平成分。
而如果是将某个关系形成为一个公式,或是证明一个定律,或是对同一问题采用不同的模型或对模型进行加强、调整与完善,以至形成一个新的数学概念,或是由特殊情况经过推广从而建立起一般化的理论等,这些方面就应该看作是某一问题在垂直方向的深入,因而不妨归诸于数学化的垂直成分。
回顾历史上最早的传统数学教育,其做法就是机械的途径,教师将各种结论灌输下去,学生被动地接受这些结果,死记硬背,机械模仿,不知道它的来龙去脉,所获得的只是知识的形式堆砌,既不考虑它有什么用处,也不问它互相之间是否有内在联系,可以说很少包含数学化的成分。以后逐渐有所进步,比较多地考虑到实际的经验,也建立了不少现实的模型,从而进入了经验的途径,即较多地顾及水平的数学化,使所获得的数学知识具有一定的实用价值,可以解决一些客观现实中的问题。从历史的经验教训,我们应该得出这样的结论,那就是:数学教育的正确途径应该是现实的数学化途径,我们所需要的课程体系应该全面而完善地体现数学化的正确发展,既要强调现实基础,又要重视逻辑思维,既要密切注意数学的外部关系,也要充分体现数学的内在联系,要能将这两者有机地结合在一起,那才是数学教育所必须遵循的正确路线。
用上述观点分析我国的数学教育现状,实质上走的是"形式化"、"严谨化"的路子,忽视"现实应用",否认"数学化"过程,以逻辑演绎和形式计算为最终目标,这种数学教育思想当然是不足取的,弗赖登塔尔的"数学化"原则应该为我们所借鉴。
首先,弗氏所说的"数学化",是数学抽象发展与现实世界的紧密结合。它可以描述来自具体问题的数学模型建立过程,也可以反映一组数学概念的进一步抽象化过程;按照这样的原则进行数学教学,使学生在直观与抽象的结合过程中,提高数学知识水平,掌握数学技能
与方法,这种知识、技能的获得,是在学生自己不断的观察、比较、归纳的实践经历过程中形成的。
其次,"数学化"有着各种不同的水平,这实质上是从更科学的角度,在对学生的数学知识、技能作了分析以后所得出的结论,这就要求我们在数学教学过程中,不是笼统地提"学生实际",而要能确切地针对学生所处的不同"数学化"水平,在此基础上作进一步的提高,这样的教学必然是对症下药,也能找出更合适的共同语言,而不至于"无的放矢"。
3."再创造"原则
弗氏认为:数学实质上是人们常识的系统化,每个学生都可能在一定的指导下,通过自己的实践来获得这些知识。所以我们应遵循这样的原则,那就是数学教育必须以"再创造"的方式来进行。事实证明,只有通过这样的方式才能获得最好的效果。
数学与其他科学有着不同的特点,它是最容易创造的一种科学,3十2=5,矩形的面积等于长乘宽,类似这些简单而又直观的数学事实,都可以让学生通过自己的学习过程来得到。也就是说,教师不必将各种规则、定律灌输给学生,而是应该创造合适的条件,提供很多具体的例子,让学生在实践的过程中,自己"再创造"出各种运算法则,或是发现有关的各种定律。
每个人都应该在学习数学的过程中,根据自己的体验,用自己的思维方式,重新创造有关的数学知识。当然这并非要我们再去机械地重夏历史,但是新的一代也不可能恰好从前人所终止的那一点上继续下去,也就是说,从某种意义上我们还是应当重复数学创造的历史,假定我们的祖先在掌握了现有的知识后会怎么做--可能发生的历史。
数学家从不按照他们发现、创造的真实过程来介绍他们的工作,实际上经过艰苦曲折的思维推理获得的结论,常以"显然"二字一笔带过。教科书更是常将通过分析法所得的结论采取综合法的形式来叙述,也就是说文字表达思维过程与实际获得的发现过程完全相反,因而严重阻塞了"再创造"的通道。
数学确实是一门演绎科学,它的一个特征是严谨的逻辑推理和高度的抽象化。数学教育的目标之一也应该让学生掌握一个不同水平的形式体系,问题是通过怎样的方式才能达到这一目标?传统的方法就是将数学当作是一个已经完成的现成的形式理论,教师从定义出发,介绍它的符号、表达方式,再讨论一系列性质,从而得出各种规则、算法。教师的任务是举例、讲解,学生的任务则是模仿,唯一留给学生活动的机会就是解题--所谓"应用"。实际上、真正的数学家从来也不是以这样的方式来
学习数学的,他们常常凭借数学的直觉思维,做出各种猜想,然后再加以证实(直到今天,还有许多猜想等待人们去检验或推翻)。那些符号、定义都是思维活动的结果,为了知识系统化或是交流的需要而引进。如果给学生提供同样的条件,不仅是性质、规则,甚至定义也都可以包括在学生能够重新创造的范围以内。
日常生活中,象"狗"、"椅子"等概念,都不需要事先给以严格的定义,儿童通过实际接触,自然地形成了概念。数学中的一些东西,同样来自现实,也可以通过学生的实际感受而形成概念。以学习平行四边形概念为例,教师可以出示一系列的平行四边形的图形或是实际例子,告诉学生这些就是"平行四边形",让学生自己进行比较、分析、研究,在经过反复的观察与思考后,他们就会发现"平行四边形"的许多共同性质[G1],接着就会进而发现这些性质之间的联系,在教师的引导与学生间相互讨论的基础上,学生就不仅掌握了平行四边形的概念,同时也理解了形式定义的含义以及各种相关性与等价定义的概念,也就是说,学生通过自己的实践活动学会了怎样定义一个数学的概念,对于定义的必要性与作用都会有更深的体会,通过这样的"再创造"方式进行的概念教学,显然比将一个现成的定义强加给学生要有效得多。
当然,每个人有不同的"数学现实",每个人也可能处于不同的思维水平,因而不同的人
可以追求并达到不同的水平。一般说来,对于学生的各种独特的解法,甚至不着边际的想法都不应该加以阻挠,要让他们充分发展,充分享有"再创造"的自由,甚至可以自己编造问题,自己寻找解法,一句话,应该让学生走自己的道路。教师的作用,应该在适当的时机引导学生加强反思,巩固已经获得的知识,以提高学生的思维水平,尤其必须有意识地启发,使学生的"创造"活动逐步由不自觉或无目的状态,发展为有意识有目的的创造活动,以便促使每个人都能达到不同的发展。
夸美纽斯有一句名言:"教一个活动的最好方法是演示。"他主张要打开学生的各种感觉器官,那就不仅是被动地通过语言依赖听觉来吸收知识,也包括眼睛看甚至手的触摸及动作。弗赖登塔尔将这一思想发展为"学一个活动的最好方法是实践",这样提法的目的是将强调的重点从教转向学,从教师的行为转到学生的活动,并且从
感觉的效应转为运动的效应。就象游泳本身也有理论,学游泳的人也需要观摩教练的示范动作,但更重要的是他必须下水去实地练习,老是站在陆地上是永远也学不会游泳的。
我们主张"再创造"应该是数学教育的一个教学原则,它应该贯串于数学教育整个体系之中。实现这个方式的前提,就是要把数学教育作为一个活动过程来加以分析,在这整个活动过程中,学生应该始终处于一种积极、创造的状态,要参与这个活动,感觉到创造的需要[G2],于是才有可能进行"再创造"。教师的任务就是为学生提供自由广阔的天地,听任各种不同思维、不同方法自由发展,决不可对内容作任何限制,更不应对其发现作任何预置的"圈套"。
4."严谨性"原则
弗赖登塔尔指出,数学与其他的思维训练相比而言,有个最大的优点,就是"确定性",对每个命题你可以判断它的对或错,其他科学就不是如此,常常依赖于有关的现实情况,涉及到所适用的范围,所选定的标准,只有数学可以强加上一个有力的演绎结构,由此可以确定结果是否正确,或是结果能否找到,这就是所谓数学的严谨性,是数学的度量标准,也是数学教学必须遵循的原则。
弗赖登塔尔提出严谨性是相对的,对于严谨性的评价,必须根据具体的时代、具体的问题来做出判断。譬如说微积分,人们开始直观地用无穷小概念运算,工作很出色,以后人们相信,必须用-才能保证其严密性,可是现在-又失去了地盘,因为又有了现代化的微分算法;再如,半个世纪以前,人们认为自然数、整数、有理数和实数,就构成了严密的数论基础,可是今天,却必须从公理化的定义出发,认为除了公理化体系以外,就没有严密的数学。
严谨性有不同的级别,每个题材有适合于它的严谨性级别,数学家应该根据不同的严谨性级别进行操作,而学生也应通过这些不同级别的学习,来理解并获得自己的严谨性,在学生尚未理解之时,是无法将所谓严密的数学理论强加给学生的,学生只有通过再创造来学习数学的严谨性。就象6岁的儿童用手指计算8+5,在这个年
龄,这也许就是一个严密的证明;当人长大时,按严谨性要求,将8+5分解为8+2+3,因为这时的加法表只用于a+b=c(其中1≤a<10,1≤b<10,2≤c≤10),再迟一点,也许就不必再分解,直接得到8+5=13也就是严密的,因为加法表已经可以用于a+b=c(其中1≤a≤10,1≤b<10,2≤c≤20)。
对于"严谨性"原则的贯彻,需要特别注意,应该根据不同的阶段,不同的教学目的,提出不同的"严谨性"要求,不存在绝对的"严谨性",只有在某个具体阶段,结合具体数学题材,根据学生实际水平,规定具体的"严谨性"。
"严谨性"要求的规定,应该根据学生的特定的"数学现实",又应该在"再创造"的过程中,来理解并获得这种"严谨性",这样才能保证我们的数学教育过程会在"数学化"的正确轨道上前进。总之,数学教学原则并非孤立、分散,各自为政,它们之间有着密切联系,在具体的执行过程中,也应该从整体的、联系的观点着眼,才能使之发挥更大的作用,取得数学教学的成功。
[G1]具有这种性质的东西叫##,也可叫**[G2]创设情境
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篇四：沙塔尔问题教材危害对照材料
弗赖登塔尔(1905—1990)是国际上极负盛名的荷兰数学家和数学教育家．他推动和亲身参与了荷兰的数学教育改革实践，并对20世纪国际数学课程的改革与发展作出了重大贡献．
弗赖登塔尔生于1905年，1930年获柏林大学博士学位．1951年起为荷兰皇家科学院院士，1971—1976年任荷兰数学教育研究所所长．弗赖登塔尔是著名数学家布劳威尔的学生，早年从事纯粹数学研究，以代数拓扑学和群论研究方面的杰出工作进入国际著名数学家的行列，曾任荷兰数学会的两届主席．
作为著名的数学家，弗赖登塔尔非常关注教育问题，他很早就把数学教育作为自己思考和研究的对象，他本人有一个非常简单的解释：我一生都是做教师，之所以从很早就开始思考教育方面的问题，是为了把教师这一行做好．弗赖登塔尔在长期的数学教育研究实践中，逐步形成了适应儿童心理发展，符合教育规律，经得起实践检验，并且有自己独特风格的数学教育思想体系．他积累的研究成果和实践经验，不仅改变了荷兰数学教育的面貌，也通过世界范围的相互交流，极大地推动了国际数学教育研究的发展。弗赖登塔尔一生发表关于数学教育的著述达几百篇(部)，其中三本巨著用多种文字出版，在国际上产生了重大影响．它们是：《作为教育任务的数学》、《播种和除草》、《数学结构的教学现象》．在这些著作中，弗赖登塔尔详细论述了为什么必须对传统数学教育进行改革的原因：系统阐述了现实数学教育思想的理论体系；具体探讨了如何按现实数学教育的观点设计数
学课程、编写数学教材等方面的问题．他的许多结论都是在中、小学课堂上经过长期实践之后得出的．他的工作奠定了现实数学教育的理论和实践基础，明确了现代数学教育改革的目标和方向．
弗赖登塔尔的数学教育思想主要有：强调数学教育必须面向社会现实，必须联系日常生活实际，注重培养和发展学生从客观现象找出数学问题的能力；用再创造的方法去进行教学，反对灌输式和死记硬背；提倡讨论式、指导式的教学形式，反对传统的讲演式的教学形式．
1987年，已经80多高龄的弗赖登塔尔到我国访问，他在华东师范大学数学系演讲，走上讲台的第一句话就说：“在荷兰，中学教室里的桌椅摆法都是围成一圈，教师在学生中间活动．如果有一个学校的教室象今天这样摆桌椅：前面一张讲台，下面是一排排桌椅，那么这所中学的校长大概要被撤职了!”这时教室发出一阵笑声，同时也引起人们的思索．他的演讲为我国数学教育改革提供了新的思路，他的思想对我国数学教育研究产生了积极而深远的影响。弗赖登塔尔把自己的一生献给了数学与数学教育事业。作为20世纪最伟大、最具有影响的数学教育家，他的许多观点将会影响着世界数学教育的改革与发展。
一、弗赖登塔尔的数学教育的主要特征总体上讲弗赖登塔尔所认识的数学教育有五个主要特征：（1）情景问题是教学的平台；
（2）数学化是数学教育的目的；（3）学生通过自己的努力得到的结论和创造是教育内容的一部分；（4）“互动”是主要的学习方式；（5）学科交织是数学教育内容的呈现方式。这些特征又可以用三个词加以概括――现实、数学化、再创造。1．何谓数学教育中的现实弗赖登塔尔认为，数学来源于现实，存在于现实，并且应用于现实，而且每个学生有各自不同的“数学现实”。数学教师的任务之一是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实。因此，在教学过程中，教师应该充分利用学生的任知规律，已有的生活经验和数学的实际，灵活处理教材，根据实际需要对原材料进行优化组合。把例题生活化，让学生易懂易学。通过设计与生活现实密切相关的问题，帮助学生认识到数学与生活有密切联系，从而体会到学好数学对于我们的生活有很大的帮助，无形当中产生了学习数学的动力。这也就是弗赖登塔尔常常说的数学教育既是现实的数学教育。关于情景问题，弗赖登塔尔认为，数学教育要引导学生了解周围的世界，周围的世界应该是学生探索的源泉，而数学课本从结构上应当从与学生生活体验密切相关的问题开始。发现数学概念和解决实际问题，实际数学化。情景问题与传统数学课本中的例子有相通之处，既他们都被用来引用数学概念和理解数学方法的基础，区别之处在于，传统的数学课
本一般都按照科学的体系展开，不太重视属于学生自己的一些非正规的数学知识的作用。在这种直接式的结构当中，常规性、经验性的知识一般派不上用场，学生只要注意课本提供的数学题目的计算和解答就行了。完全不用考虑它们的实际意义。而弗赖登塔尔所倡导的情景问题是直观的，容易引起想象的数学问题。隐含在这些数学问题中的数学背景是学生熟悉的事物和具体情景，而且与学生已经了解或学习过的数学知识相关联，特别是要与学生生活中积累的常识性知识和那些学生已经具有的，但未经训练和不那么严格的数学体验相关联。
在运用“现实的数学”进行教学时，必须明确认识以下几点：第一，数学的概念，数学的运算、法则，以及数学的命题，都是来自于自然世界的实际需要而形成的，是现实世界的抽象反映和人类经验的总结。因此，数学教学内容来自于现实世界。把那些最能反映现代生产，现代社会生活需要的最基本、最核心的数学知识和技能作为数学教育的内容。第二，数学研究的对象，是现实世界同一类事物或现实抽象而成的量化模式。而现实世界事物、现象之间又充满了各种各样的关系和联系。从而，数学教育的内容就不能仅仅局限于数学内容的内在联系。就中学数学教学内容来讲，不能只考虑代数、几何、三角之间的联系，还应该研究数学与现实世界各种不同领域的外部关系和联系。如，与日常生活，工农业生产，货币流通和商品生产经营，以及其他学科等联系。这样才能使学生一方面获得既丰富多彩而又错综的“现实的数学”内容，掌握比较完整的数学体系。另一方面，学生也有可能把学
到的数学知识应用到现实世界中去。第三，社会需要的人才是多方面的，不同层次、不同专业所需的
数学知识不尽相同。因而，数学教育应为不同的人提供不同层次的数学知识。也就是说，不同的人有不同需要的“现实的数学”。数学教育所提供的内容应该是学生各自的“数学现实”，即“学生自己的数学”。通过“现实的数学教学”，学生就可以通过自己的认知活动，构建数学观，促进数学知识结构的优化。
2．数学化什么是数学化呢？弗赖登塔尔认为，人们在观察、认识、和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程，就叫数学化。说简单点，数学的组织现实世界的过程就是数学化。一提到数学化，人们就会联想到数学教学的“科学性”和“严谨性”，感觉到它距离我们很遥远。实际上，数学化是一种由浅入深，具有不同层次、不断发展的过程。一般来讲，数学化的对象，一是数学本身；二是现实客观事物。对数学本身的数学化，就是深化数学知识，或者是数学知识系统化，形成不同层次的公理体系和形式体系。对客观事物的数学化，形成了数学概念、运算法则、规律、定理，以及为解决实际问题而构造的数学模型等。实际上，在高等学校里，数学系的学生要学普通物理，物理系的学生要学高等数学，研究化学反应时，把参加反应的物质的浓度、温度等作为变量，用方程表示它们的变化规律，通过方程的“稳定解”
来研究化学反应。这里不仅要运用基础数学，而且要应用“前沿上的”、“发展中的”数学。不仅要应用加减乘除来处理，而要用复杂的“微分方程”来描述。研究这样的问题，离不开方程、数据、函数曲线、计算机等。正是各门科学数学化到一定程度，它们才得以发展到一个又一个新的阶段。不仅如此，正如前苏联数学家格涅坚科所说，当今的世界“不仅仅是科学在数学化，而且绝大多数实践活动也在数学化”，“我们的时代是知识数学化的时代”。
既然任何数学分支都是数学化的结果。各门科学的发展都有数学化的功劳，那么在数学教育过程中，让学生学会数学的思考与研究各种现象，形成数学的概念，运算的法则，构造数学模型，经历一个数学化的过程，这也就是理所当然的事了。正如弗赖登塔尔所说：“数学教学必须通过数学化来进行。”
当然，我们所说的学习数学化，并不是不要数学学科的“科学性”和“严谨性”。在现实数学教育者的眼中，学习者从一个具体的情境问题开始到得出一个抽象数学概念的教育全过程就是数学化的过程，学生对数学的“再发现”就是“数学化”。
需要强调的是，数学化是一个过程，是一个从一个问题开始，由实际问题到数学问题，由具体问题到抽象概念，由解决问题到更进一步应用的一个教育全过程，而不是方程、函数等等之类的具体的数学素材。传统数学课本是“教给”学生数学现成结果的教材，最容易忽略的就是过程。把数学化作为数学课本内容的一部分，是要使课本成为学生自己去“发现”一些已有数学结果的辅导书。通过一个充满探
索的过程去学习数学，让已经存在于学生头脑中的那些非正规的数学知识和数学体验上升发展为科学的结论，从中感受数学发现的乐趣，增进学好数学的信心，形成应用意识、创新意识、，从而达到素质教育的目的。
现实数学教育所说的数学化有两种形式：（１）实际问题转化为数学问题的数学化，即发现实际问题中的数学成分，并对这些成分做符号化处理；（２）从符号到概念的数学化，即在数学范畴之内对已经符号化的问题作进一步抽象化处理。对于前者，基本流程是：(1)确定一个具体问题中包含的数学成分；(2)建立这些数学成分与学生已知的数学模型之间的联系；(3)通过不同方法使这些数学成分形象化、符号化和公式化；(4)找出蕴含其中的关系和规则；(5)考虑相同数学成分在其他数学知识领域方面的体现；(6)做出形式化的表述。对于后者，基本流程是：(1)用数学公式表示关系；(2)对有关规则做出证明；(3)尝试建立和使用不同的数学模型；(4)对得出的数学模型进行调整和加工；(5)综合不同数学模型的共性，形成功能更强的新模型；(6)用已知数学公式和语言尽量准确的描述得到的新概念和新方法；(7)作一般化的处理、推广。
不过通过数学化得到一个新的数学概念之后，还需要对已经得到的概念、模型、技巧作进一步的调整和把握，即解释和说明得出的结果；讨论新模型或方法的使用范围；回顾、总结和分析已经完成的数学化过程。
可以看到，一个现实情景所提供的信息是现实数学教育的基础。而情景问题与数学化又是结合在一起的。在“一浪接一浪”的数学化进程中，学习者经历了一个又一个由现实的情景问题到数学问题，由不那么严格的数学体验到严格的数学系统，由数学的“再发现”到数学的具体应用。
3．再创造学生“再创造”学习数学的过程实际上就是一个“做数学”(doingmathematics)的过程，这是目前数学教育的一个重要观点。它强调学生学习数学是一个经验、理解和反思的过程，强调以学生为主体的学习活动对学生理解数学的重要性，强调激发学生主动学习的重要性，并认为做数学是学生理解数学的重要条件。弗赖登塔尔说的“再创造”，其核心是数学过程再现。针对实践中频频出现的“教学法的颠倒”，“将数学作为一种活动来进行解释和分析”的状况，设身处地的“设想你当时已经有了现在的知识，你将是怎样发现那些成果的；或者设想一个学生学习过程得到指导时，他是应该怎样发现的”。。当然，这不是简单地“由学生本人把学的东西自己去发现或创造出来，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作。”也不是简单的“教师指导下的学生活动”。。而是通过教师精
心设计，创造问题情景，通过学生自己动手实验研究、合作商讨，探索问题的结果并进行组织的学习方式。
需要特别注意的是，弗赖登塔尔的数学教育理论不是“教育学+数学例子”式的论述，而是抓住数学教育的特征，紧扣数学教育的特殊过程，因而有“数学现实”、“数学化”、“数学反思”、“思辨数学”等诸多特有的概念。他的著作多数根据自己研究数学的体会，以及观察儿童学习数学的经历，思辨性的论述比较多。于是有人批评说弗赖登塔尔的数学教育理论缺乏实践背景和实验数据。其实，他的许多研究成果尚未被大家仔细研究。有兴趣的读者不妨阅读他的著作。
