摘 要： 针对虚拟场景中角色漫游的实际需求，实现了几种漫游轨迹的生成算法，并深入探讨各算法的性能优劣。在分析了玫瑰线，圆内旋轮线、圆外旋轮线、利萨茹曲线几个曲线生成算法后，最终经对比发现使用三体混沌原理生成的曲线路径最佳，符合实际虚拟场景中角色的随机漫游的效果。
关键词： 三体; 非线性函数; 玫瑰线; 圆内旋轮线; 圆外旋轮线; 利萨茹曲线
中图分类号：TP312 文献标志码：A 文章编号：1006-8228（2019）08-97-03
Abstract： In this paper， according to the actual demand of character roaming in virtual scene， several algorithms for generating roaming trajectory are realized， and the performance of each algorithm is discussed in depth. After analyzing the curve generation algorithms of Rose line， Hypocycloid， Epicycloid and Lissajous curve， the final comparison found that the curve path generated by the ideas of three-body problem and chaos is the best， which is in line with the effect of random roaming of characters in the actual virtual scene.
Key words： three body; nonlinear function; Rose line; Hypocycloid; Epicycloid; Lissajous curve
0 引言
目前虚拟现实技术正在渗透到国民生活的各个领域，如城市规划、工程设计、环境艺术、文化传播、旅游、教育等。一些应用了虚拟现实技术的视景仿真和多媒体产品正越来越多地应用于生产和生活中[1]。
在三维虚拟场景中，角色物体漫游是一个重要的表现手法。在现实需求中，经常要使物体模型在一个固定空间中自由随机地运动。如游戏中，非玩家角色（NPC）在一个场景区域中自由漫游。这种漫游的方法是由美工人员在建模工具中编辑好运动轨迹，然后在虚拟场景使物体沿着固定的轨迹循环移动。这种方法有两个缺点，一是需要将轨迹数據保存到文件中，增加了数据量，二是运动轨迹是固定的，缺乏灵活度。
漫游路径设计的优劣直接影响虚拟漫游的真实性和沉浸感。漫游路径生成时需要注意：设计规划的合理性、漫游方向改变时弯道平滑优化性、物体运动速度等，合理调整这些关键因素将有效地提高虚拟场景显示画面的稳定性、降低画面抖动和摇摆[2]。本文将从数学中寻找能够应用于物体漫游的几种曲线。
1 线性数学曲线
所谓线性，指两个变量之间可用某个公式表示的一种关系。角色物体漫游时，物体的坐标位置与时间可以作为两个变量。如果有某个公式能够表示在某一时刻该物体的位置，即是其线性方程。在线性数学中，有几种在某一区域内游荡的方程，下面我们一一进行讨论。
1.1 玫瑰线
玫瑰线是极坐标系中的正弦曲线，可以用如下的方程来表示：
1.2 圆内旋轮线与圆外旋轮线
圆旋轮线被定义为：一个圆沿另外一个圆滚动时，圆上一定点所形成的轨迹。介于圆内外的区别，于是有了两种旋轮线：
1.3 利萨茹曲线
利萨茹（Lissajous）曲线，又称利萨茹图形或鲍迪奇（Bowditch）曲线，是两个沿着互相垂直方向的正弦振动的合成的轨迹。其参数方程如下：
2 三体混沌曲线
2.1 非线性数学
前面所列举的几种线性数学曲线，都是有一定规律可循的，无法实现随机性。用户总能够通过之前的运动路线推测出下一步的位置。若要实现真正的随机性，需要采用非线性数学的混沌。
所谓非线性是指两个变量间的关系，不成简单比例。与线性方程不同，非线性方程的解不满足线性叠加原理。线性意味着系统的简单性，但自然现象就其本质来说，都是复杂的，非线性的。所幸的是，自然界中的许多现象都可以在一定程度上近似为线性。传统的物理学和自然科学就是为各种现象建立线性模型，并取得了巨大的成功。但随着人类对自然界中各种复杂现象的深入研究，越来越多的非线性现象开始进入人类的视野。
2.2 三体问题
最经典的非线性问题就是三体问题了，它是研究三个质点在万有引力作用下的运动观律。三个天体质量、初始位置和初始速度都是任意的。迄今为止，此类问题仍没有普遍的解析解，在特殊情况下可得到比较满意的结果。若这三个天体中有一个天体的质量与其他两个天体的质量相比，小到可以忽略时，三体问题即变为限制性三体问题。质量很小的天体一般称为小天体，另两天体称为大天体。小天体的质量很小，可以不考虑它对另两个天体的引力[3]。
在虚拟场景中，假设有两个固定的天体，将可移动的物体作为第三个小天体。计算可移动物体在两个固定天体引力作用下的运动轨迹。
2.3 物理公式
需要使用如下几个物理公式：
⑴ 万有引力定律
F =[G] [m1m2r2]
用于计算物体的受力，运动天体中受另外两个天体的万有引力。
（2） 势能与动能守恒定律
对物体轨迹的运算中，为了提高计算效率，没有使用微积分的精确求解，这会导致物体速度出现较大误差，采用势能与动能守恒定律可以校正这一误差。
2.4 三体的程序模拟
假设两个固定天体的质量用m1和m2来表示，运动天体的质量用w表示;R1、R2 分别表示运动天体距两个固定天体的距离;Ep1， Ep2分别表示运动天体在两个固定天体上的引力势能;F1， F2分别表示两个固定天体上的的引力;A表示运动物体的当前加速度;V表示运动天体的当前速度;P表示运动天体的当前位置;t表示时间间隔;g 表示万有引力系数;Ek表示运动天体的当前动能;E表示运动物体的动能与势能的加和。其伪代码如下：
2.5 对限制性三体的扩展
假设将运动物体在多个固定天体的引力下运动则可以得到如图5、图6所示轨迹图像。
3 总结
本文首先讨论了几种基于线性数学曲线的运动轨迹生成算法，玫瑰线的特点是有一个中心点会被多次经过，圆内旋轮线与圆外旋轮线适合物体在圆形区域内运动，利萨茹曲线适合物体在矩形区域内运动，这四种曲线都是有一定规律可循的，无法实现随机性。本文基于经典的非线性问题-三体来实现物体的运动轨迹算法，最终发现移动物体在N个固定物体引力的作用下生成的运动轨迹最为理想。在实际应用中该方法可控性高、设置简单、漫游平稳，且无视觉抖动。
参考文献（References）：
[1] 罗立宏，张群英.基于Cardinal的虚拟场景自动漫游算法桂林工学院学报，2007.3：278-281
[2] 孙红岩，李翠芳，孙晓鹏.基于二次有理Bezier方法的虚拟漫游路径优化计算机工程与设计， 2013.11：3912-3915
[3] 陈坤，王妍. 一种平面圆形限制性三体问题的数值模拟 实验研究， 2014. 9.
[4] 李银山. 三体问题综述[J]. 中国科技信息， 2007. 23.
[5] 徐卫青，陈朋，连磊等.三体问题初探[J].中国高新技术企业， 2007. 5.
